一个大矩阵求逆 = 一个小矩阵求逆 + 几步矩阵乘法——MIL 是 Kalman Gain 计算效率的关键一手。
💡 本讲是 0005 第 1 节，下一节讲状态空间与协方差。
❓ 问题：在 Kalman Filter 中，我们要实时更新 $P_{k|k-1}$（先验协方差），然后计算 Kalman Gain：
这个逆矩阵的维度等于测量维度 $m$。如果 $m$ 很大（比如 GPS 有几十个卫星信号），直接求逆计算量极大。
MIL 的核心思想：把 $m \times m$ 矩阵求逆转化为对 $n \times n$ 矩阵求逆（$n$ 是状态维度），当 $m \gg n$ 时大幅节省计算。
💡 一句话：MIL = "把大求逆分解成小求逆 + 矩阵乘法"。
对于任意兼容维度的矩阵 $A,B,C,D$（$A$ 和 $C$ 可逆），且 $A + BCD$ 可逆：
又称 Woodbury identity 或 Sherman-Morrison-Woodbury 公式。
左边是 $n \times n$ 求逆，右边转为 $m \times m$ 求逆（$B$ 的列数）。
推导前先建立两个标量类比推广到矩阵的恒等式：
验证：$(I+P)^{-1}(I+P-P) = I - (I+P)^{-1}P$，✓
这个等式由 e2 两边同时右乘 $(I+QP)^{-1}$ 或左乘 $(I+PQ)^{-1}$ 得到。
💡 直觉：这三个恒等式都是在说"$P$ 和 $(I+\dots)^{-1}$ 可以交换位置"。核心在于 $P$ 左乘 $(I+QP)^{-1}$ 等价于右乘 $(I+PQ)^{-1}$。
三层公式阅读法：
目标是展开 $(A + BCD)^{-1}$。将它改写为 $A(I + A^{-1}BCD)$，利用 $(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$：
Step 1：令 $P = A^{-1}BCD$，应用 e1：
Step 2：在中间插入 $A^{-1}A = I$，整理：
Step 3：提取因子 $C$：
MIL 本质上在说：如果你已经知道 $A^{-1}$，那么给 $A$ 加一个低秩修正 $BCD$ 后，新逆矩阵可以通过对 $C^{-1} + D A^{-1} B$（一个小得多的矩阵）求逆来更新。KF 中每次测量更新就是一次低秩修正。
把 MIL 看成秩更新：
🌰 类比：你已经知道整栋楼的蓝图（$A^{-1}$），现在只改了一个房间的布局（$BCD$）。你不需要重新画整栋楼——只需更新这一个房间的影响。MIL 就是矩阵世界里的"局部更新公式"。
向量情况（$B=u$, $C=1$, $D=v^T$），分母退化成一个标量 $1 + v^T A^{-1} u$，连矩阵求逆都不需要了！
其中 $A = R$（测量噪声协方差），$B = H$，$C = P$，$D = H^T$。
在 KF 中，后验协方差更新有两种等价形式：
$$ P_{k|k} = (I - K H) P_{k|k-1} $$
需要先算 $K$，$K$ 里有个 $m \times m$ 求逆
$$ P_{k|k}^{-1} = P_{k|k-1}^{-1} + H^T R^{-1} H $$
利用 MIL 从协方差形式推出！当 $m > n$ 时更高效
信息形式在传感器融合（KF L16 固定增益）中极为重要——多传感器时，只需叠加 $H_{i}^T R_{i}^{-1} H_{i}$ 项，即插即用。
【标量验证】设 $a=2$, $b=1$, $c=3$, $d=1$。用标量版本的 MIL $(a + bcd)^{-1} = a^{-1} - a^{-1} b (c^{-1} + d a^{-1} b)^{-1} d a^{-1}$ 验证左右相等。
左边: $(2 + 1\cdot3\cdot1)^{-1} = 5^{-1} = 0.2$
右边: $0.5 - 0.5\cdot1\cdot(1/3 + 1\cdot0.5\cdot1)^{-1}\cdot1\cdot0.5$
$= 0.5 - 0.5 \cdot (1/3 + 0.5)^{-1} \cdot 0.5 = 0.5 - 0.5 \cdot (5/6)^{-1} \cdot 0.5$
$= 0.5 - 0.5 \cdot 1.2 \cdot 0.5 = 0.5 - 0.3 = 0.2$ ✓
【矩阵验证】设 $A = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$, $C = 2$, $D = \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}$。用 MIL 计算 $(A+BCD)^{-1}$，并与直接求逆对比。
$A+BCD = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} \cdot 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 2 \\ 2 & 5\end{bmatrix}$
直接求逆: $\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 2 & 5\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{16}\begin{bmatrix}5 & -2 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.3125 & -0.125 \\ -0.125 & 0.25\end{bmatrix}$
用 MIL: $A^{-1} = \begin{bmatrix}0.5 & 0 \\ 0 & 0.333\end{bmatrix}$, $C^{-1}+D A^{-1} B = 0.5 + \begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.333\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = 0.5 + 0.833 = 1.333$
$A^{-1} - A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}$ 最终结果应与直接求逆一致。
【推导】从标准 MIL $(A+BCD)^{-1}$ 推导 Sherman-Morrison 公式 $(A + uv^T)^{-1}$。
令 $B = u$, $C = 1$, $D = v^T$。则 $C^{-1} + D A^{-1} B = 1 + v^T A^{-1} u$（标量）。
代入即得: $A^{-1} - \frac{A^{-1} u v^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}$。
【思考】在 KF 中，为什么 $m \gg n$ 时信息形式比标准形式更高效？计算复杂度分别是多少？
$(A+BCD)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}$
"低秩更新"——大求逆 → 小求逆。KF 中每步测量更新就是一次秩更新。
KF L2（下）：状态空间模型与协方差传播。把 MIL 放到系统建模场景中理解。
施老师大课堂 · 研讨会系列 5 · KF L2（上）矩阵求逆引理
字幕来源：subtitles/20251129_施凌_研讨会系列5_KF_L2_audio_00742037997074f5.srt