研讨会系列 6 · Kalman Filter L3

二次型优化、稳定性与能控性

从正定碗底到系统能不能被推到目标——一个「碗」连接了优化、动态和控制。

📅 2025-12-06 ⏱ ~90 分钟 📊 中级 🎯 KF 基础

🎯 学完本节，你应能

理解二次型优化、矩阵正定性判据与系统能控性概念

📖 前置知识

建议先完成前面的课程，或具备线性代数与概率论基础。

1. 二次型优化：为什么要先学这个

Kalman Filter 和最小二乘里经常出现这种目标：

$$ \min_{x} \frac12 x^T Q x + b^T x $$

其中 $Q > 0$ 是正定矩阵。你可以把它想象成一个多维的碗。正定表示这个碗是向上开的，所以有唯一碗底，也就是最小值。

💡 核心直觉：正定二次型 = 向上开口的碗。碗底就是唯一最小值点。

2. 一维二次型：配方法

【课堂例题】

考虑：

$$ f(x)=\frac12 q x^2 + b x,\quad q > 0 $$

配方：

$$ f(x)=\frac12 q \left(x+\frac{b}{q}\right)^2 - \frac12 \frac{b^2}{q} $$

所以最小点：

$$ x^* = -\frac{b}{q} \quad\text{最小值：}\quad f(x^*) = -\frac12 \frac{b^2}{q} $$

📝 通俗解释： $q>0$ 时图像是向上的抛物线。配方法的作用是把抛物线写成"平方项 + 常数"，平方项最小为 0，因此最小点一眼就能看出来。

3. 多维二次型

考虑多维情况：

$$ f(x)=\frac12 x^T Q x + b^T x,\quad Q > 0 $$

写成完全平方形式：

$$ f(x)=\frac12 (x+\Delta)^T Q (x+\Delta) + C $$

展开匹配得到 $\Delta = Q^{-1}b$，于是：

$$ x^* = -Q^{-1}b, \qquad f(x^*) = -\frac12 b^T Q^{-1} b $$

📐 一维类比

$x^* = -b/q$，$f^* = -\frac12 b^2/q$
多维完全继承了这个形式。

🔑 关键条件

$Q>0$ 保证碗向上开，解存在且唯一。

4. 离散线性系统稳定性

考虑无输入系统：

$$ x_{k+1} = A x_{k} $$

给定初值 $x_{0}$：

$$ x_{k} = A^k x_{0} $$

稳定的定义

系统稳定指：

$$ \lim_{k\to\infty} \|x_{k}\| = 0, \quad \forall x_{0} $$

🌰 通俗说：不管一开始偏到哪里，系统都会慢慢回到 0。

5. 为什么稳定性看特征值

如果 $A$ 可对角化：$A = P D P^{-1}$，则：

$$ A^k = P D^k P^{-1},\quad D^k = \operatorname{diag}(\lambda_{1}^k, \ldots, \lambda_{n}^k) $$

所以 $x_{k}$ 是否趋于 0，关键看每个 $\lambda_{i}^k$ 是否趋于 0。

$$ \lambda_{i}^k \to 0 \Longleftrightarrow |\lambda_{i}| < 1 $$

因此稳定条件为 谱半径：

$$ \rho(A) = \max_{i} |\lambda_{i}(A)| < 1 $$

【补充例题】一维系统稳定性

系统 $x_{k+1}=0.8 x_{k}$，若 $x_{0}=10$，则 $x_{k} = 0.8^k \cdot 10$。因为 $0.8^k \to 0$，系统稳定。

若 $x_{k+1}=1.2 x_{k}$，则 $1.2^k$ 越来越大，系统不稳定。

6. 能控性：输入能否把系统推到目标

加入控制输入：

$$ x_{k+1} = A x_{k} + B u_{k} $$

系统 $(A,B)$ 能控，意思是：

🎯 对任意初始状态 $x_{0}$ 和任意目标状态 $x_{d}$，总能找到有限步输入，把系统从 $x_{0}$ 送到 $x_{d}$。

🚗 通俗故事：想象开车。方向盘和油门就是输入。如果车只能前后动，不能左右转，那二维平面上并不是每个目标都能到达。能控性就是问：你的输入到底能影响多少状态方向？

7. 能控性矩阵

对 $n$ 维系统，定义：

$$ M_{C} = [B,\; AB,\; A^2B,\; \ldots,\; A^{n-1}B] $$

系统能控当且仅当：

$$ \operatorname{rank}(M_{C}) = n $$

为什么这个矩阵合理

展开系统：

$$ x_{1} = A x_{0} + B u_{0} $$ $$ x_{2} = A^2 x_{0} + A B u_{0} + B u_{1} $$

输入 $u_{0}$ 不只通过 $B$ 影响下一步，还会被 $A$ 传播成 $AB, A^2B, \ldots$ 的方向。

所以 $B, AB, \ldots, A^{n-1}B$ 这些列张成了输入能够影响的所有方向。

8. 能控 Gramian

另一种判据：

$$ W_{c}(n) = \sum_{k=0}^{n-1} A^k B B^T (A^T)^k $$

系统能控当且仅当：

$$ \operatorname{rank}(W_{c}(n)) = n $$

💡 延伸： Gramian 还和"最小能量控制"有关——到达某个方向如果需要很大能量，Gramian 会反映出来，体现在其特征值上。

9. PBH Test

$$ \forall \lambda \in \mathbb C,\quad \operatorname{rank}[A-\lambda I,\; B] = n $$

🤔 直觉： 如果存在某个系统模态（也就是某个特征方向）完全不受 $B$ 影响，那么这个方向不可控。PBH test 就是在检查有没有这种"输入碰不到的模态"。

10. 【课堂例题】二维车辆能控性

课堂中用二维车辆模型说明能控性。状态通常取：

$$ x = \begin{bmatrix} p^x \\ v^x \\ p^y \\ v^y \end{bmatrix},\quad u = \begin{bmatrix} u^x \\ u^y \end{bmatrix} $$

输入是两个方向的加速度。虽然输入直接作用在速度上，但位置由速度积分得到，因此输入也能间接影响位置。在合理的 $A,B$ 下，能控矩阵满秩，系统能控。

🚘 通俗解释： 你踩油门先改变速度，再通过速度改变位置。输入不必直接作用在每个状态上，只要能通过系统动态传过去即可。

11. 【课堂插曲】两个无理数的幂可以是有理数吗

课堂上提到一个有趣的数学问题：是否存在两个无理数 $a,b$，使得 $a^b$ 是有理数？

答案是存在。构造：

$$ \\text{若 } \\sqrt{2}^{\\sqrt{2}} \\in \\mathbb{Q}, \\quad \\text{则 } a=b=\\sqrt{2} \\text{ 即满足要求} $$

若 $\\sqrt{2}^{\\sqrt{2}}$ 不是有理数（事实如此），则取 $a = \\sqrt{2}^{\\sqrt{2}},\\; b = \\sqrt{2}$：

$$ a^b = \\left(\\sqrt{2}^{\\sqrt{2}}\\right)^{\\sqrt{2}} = \\sqrt{2}^{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\sqrt{2}^{2} = 2 \\in \\mathbb{Q} $$

💡 要点： 该构造巧妙之处在于不论 $\\sqrt{2}^{\\sqrt{2}}$ 是否有理，都能找到两个无理数使其幂为有理数。这是非构造性证明的经典例子。

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