1. $M_{O}$ 满列秩意味着方程 $\bar y = M_{O} x_{0}$ 有唯一解 $x_{0}$。若不满秩，则多个 $x_{0}$ 产生相同的输出，无法区分。
2. 不可观。这个状态分量就是"看不见"的方向，$M_{O}$ 相应的列是零向量，rank 下降。
3. PBH 逐个检查特征方向。若某个模态既满足 $v^T(A-\lambda I)=0$ 又满足 $v^T B=0$，则无论怎么输入都影响不到它（不可控）。对可观性同理。
从"能不能控"到"怎么控最省力"，再到"输出能不能看见状态"——控制与估计的镜像世界。
掌握最小能量控制原理、PBH判据与系统可观性概念
建议先完成前面的课程，或具备线性代数与概率论基础。
系统：
希望从 $x_{0}$ 到 $x_{d}$。展开 $n$ 步：
把输入倒序堆叠：
则：
若要 $x_{n} = x_{d}$：
若 $M_{C}$ 是 $n \times n$ 且可逆：
输入维数大于 1 时，常用伪逆：
💡 通俗解释： 如果有多种踩油门和打方向的组合都能到达目标，伪逆会倾向选择"整体用力较小"的那组——这就是最小能量控制的雏形。
能控矩阵判据 $\operatorname{rank}[B, AB, \ldots, A^{n-1}B] = n$ 很直观，但证明某些命题时不方便。PBH test 更像从"模态"角度看系统：
如果存在 $v \ne 0$ 使得：
说明 $v$ 对应的系统模态完全不受输入影响，系统不可控。
🔍 直觉： PBH 逐个检查每个模态（特征方向），看它是否"碰得到"输入。模态不可控 ⟺ 该方向既满足 $v^T A = \lambda v^T$ 又满足 $v^T B = 0$。
课堂中证明了一个命题：若 $B \ge 0$，则：
其中 $B = \sqrt B \sqrt B$。
用 PBH test。若 $(A,B)$ 不可控，则存在 $v \ne 0, \lambda$：
因为 $B = \sqrt B \sqrt B$，可推出 $v^T \sqrt B = 0$，所以 $(A,\sqrt B)$ 也不可控。反向同理。
🔗 为什么这和 Kalman Filter 有关？ KF 中常假设 $(A,\sqrt Q)$ 可控，这里 $Q$ 是过程噪声协方差。它表示过程噪声能覆盖系统的重要动态方向。
考虑系统：
系统 $(A,C)$ 可观，意思是：
🔭 通过有限个输出 $y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{k_1}$，可以唯一确定初始状态 $x_{0}$。
无输入系统中，只要知道 $x_{0}$，就知道所有状态：$x_{k} = A^k x_{0}$。因此恢复 $x_{0}$ 就等于理解整条轨迹。
输出展开：
堆叠写成矩阵形式：
可观矩阵：
系统可观当且仅当：
如果 $(A,C)$ 可观，则 $\bar y = M_{O} x_{0}$。
这就是伪逆解。
可观当且仅当 $\operatorname{rank}(W_{O}(n)) = n$。
🤔 通俗解释： 如果系统有某个内部变化方向永远不影响输出，那你无论看多少测量都看不见它——这个方向不可观。
🪞 对偶思想： 控制问"输入能不能影响状态"；估计问"状态能不能影响输出"。同一个数学结构，两个面向。
$M_{C} \bar u = x_{d} - A^n x_{0}$，伪逆给出最小能量解。
$M_{O}$ 满秩 ⟺ 能从输出唯一恢复初始状态。
控制 $(A,B)$ ⟺ 估计 $(A^T,B^T)$，镜像对称。
Kalman Filter 是估计器。如果系统不可观，那么有些状态方向永远藏在测量之外，滤波器再聪明也无法凭空估出来 🔭
1. $M_{O}$ 满列秩意味着方程 $\bar y = M_{O} x_{0}$ 有唯一解 $x_{0}$。若不满秩，则多个 $x_{0}$ 产生相同的输出，无法区分。
2. 不可观。这个状态分量就是"看不见"的方向，$M_{O}$ 相应的列是零向量，rank 下降。
3. PBH 逐个检查特征方向。若某个模态既满足 $v^T(A-\lambda I)=0$ 又满足 $v^T B=0$，则无论怎么输入都影响不到它（不可控）。对可观性同理。
施老师大课堂 · 研讨会系列 7 · KF L4 最小能量控制、PBH 证明与可观性
字幕来源：subtitles/20251213_施凌_研讨会系列7_KF_L4_audio_82d60212435e6925.srt